الرياضيات المتناهية الأمثلة

$x^{6} + 28 x^{3} + 27 = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $x^{6}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} + 28 x^{3} + 27 = 0$

خطوة 1.2

لنفترض أن $u = x^{3}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{3}$ .

$u^{2} + 28 u + 27 = 0$

خطوة 1.3

حلّل $u^{2} + 28 u + 27$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $27$ ومجموعهما $28$ .

$1, 27$

خطوة 1.3.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u + 1) (u + 27) = 0$

خطوة 1.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3}$ .

$(x^{3} + 1) (x^{3} + 27) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{3} + 1 = 0$

$x^{3} + 27 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $x^{3} + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $x^{3} + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{3} + 1 = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{3} + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x^{3} = - 1$

خطوة 3.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{3} + 1 = 0$

خطوة 3.2.3

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$x^{3} + 1^{3} = 0$

خطوة 3.2.3.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 3.2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

خطوة 3.2.3.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

خطوة 3.2.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

خطوة 3.2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 3.2.5.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 3.2.6

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

عيّن قيمة $x^{2} - x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

خطوة 3.2.6.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.2.6.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 1$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.6.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.2.3.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.6.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.6.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.6.2.3.1.3

اطرح $4$ من $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.6.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.6.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (3)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.6.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.6.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.2.6.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $x^{3} + 27$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $x^{3} + 27$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{3} + 27 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{3} + 27 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $27$ من كلا المتعادلين.

$x^{3} = - 27$

خطوة 4.2.2

أضف $27$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{3} + 27 = 0$

خطوة 4.2.3

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{3}$ .

$x^{3} + 3^{3} = 0$

خطوة 4.2.3.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = 3$ .

$(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

خطوة 4.2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.3.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) = 0$

خطوة 4.2.3.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$

خطوة 4.2.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 3 = 0$

$x^{2} - 3 x + 9 = 0$

خطوة 4.2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 4.2.5.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 4.2.6

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 3 x + 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

عيّن قيمة $x^{2} - 3 x + 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 3 x + 9 = 0$

خطوة 4.2.6.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 3 x + 9 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.2.6.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 3$ و $c = 9$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.6.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.3.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.6.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.6.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.6.2.3.1.3

اطرح $36$ من $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.6.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 27$ بالصيغة $- 1 (27)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.6.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (27)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.6.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.6.2.3.1.7

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.3.1.7.1

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.6.2.3.1.7.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.6.2.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.6.2.3.1.9

انقُل $3$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.6.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.2.6.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$ صحيحة.

$x = - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x^{3} + 1) (x^{3} + 27) = 0$ صحيحة.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$